[征集]算24点全解无重复程序

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #11 24game » 2016年09月04日 13:26

4nums 网上有一些表达式形式归并的约定和理论

http://www.4nums.com/theory/

Given any quadruple that is solvable, we always want to know all the solutions. Some solutions are obviously different, some are obviously equivalent, some are less so.
We discuss our "theory" on how we present solutions in a less redudant way. i.e. we only present one solution out of all equivalent solutions. Furthermore, we'd like to present the most concise solution among all equivalent solutions.

Notations:
a, b, c, d are numbers (1,2,3 etc), x, y, z, w are expressions eg. 1, 1 + 2, (1 + 2 × 6) /5, etc.
Two expressions x and y are equivalent then we say x ? y, eg. a + b ? b + a, a - (b - c) ? a + c - b .
If two expressions x and y are equivalent, and we prefer y over x for its conciseness and/or easy human computer interaction, then we say x → y . For example: a - (b - c) ? a + c - b , but we prefer the latter, so we have a - (b - c) → a + c - b
± is + or -, and ×/ is × or /.

Part 1: elementary arithmetic equivalences
This part should be rather obvious. 1 × 2 × 3 × 4 and (4 × 3 × ( 2 × 1)) make no difference but obviously a lot of people prefer the first expression for its simplicity.
The rules in Part 1 can be summarized in one line: replace numbers with variables, and if two expressions have the same value for any choice of integer values, then these two expressions are equivalent. For example, for the quadruple {1,2,3,4} and two expressions: (3 + 2 + 1) × 4 and 4 × (1 + 2 + 3) : , we first replace 1 with a, 2 with b, 3 with c and 4 with d, now the two expressions become (c + b + a) × d and d × ( a + b + c). These two expressions have the same evaluation for any integer quadruple {a,b,c,d}. So we know that these two expressions are equivalent. Among (3 + 2 + 1) × 4 and 4 × (1 + 2 + 3), we prefer the former one. The reason is that for some human computer interface (think of calculators), brackets are not needed for (3 + 2 + 1) × 4. aka 4 × (1 + 2 + 3) → (3 + 2 + 1) × 4 . A general rule of thumb in determining our preference over equivalent expressions is that we prefer those with the more complicated part on the left most side.
Before giving the details of the Part 1 rules, we need one more footnote. For two expressions x and y (recall that x could be a + b), when we write x ×/ y, we add brackets around x or y when necessary.

(1) Commutativity: x ± y ? ± y + x ; x × y ? y × x ; x ×/ y ×/ z ? x ×/ z ×/ y
Preference 1: - and / on the right most side, eg. - a + b → b - a, a / b × c → a × c / b
Preference 2: those with more complicated expression(s) on the left, eg. c + a × b → a × b + c, a × (b + c) → (b + c) × a ...

(2) Associativity: x + y ± z ? ( x + y ) ± z ? x + (y ± z ) ; x × y ×/ z ? ( x × y ) ×/ z ? x × (y ×/ z ) ; ( x / y ) / z ? x / y / z
Preference: those with fewer brackets, e.g. (a + b) + c → a + b + c, (a / b) / c → a / b / c .

(3) Exchangeability between + and -, and, × and / : x - (y - z) ? x + z - y ; x × z / y ? x/(y/z) ; x /(y × z) ? x/y/z
Preference: those with fewer brackets, eg. a - (b - c) → a + c - b, a/(c/b) → a × b / c

(4) Less negativity is preferred: a - (b - c) ×/ d ? a + (c - b) ×/ d, note: this rule is not covered by rule (3).
Preferences: by preference in rule (3) we have: a - (b - c) ×/ d → (c - b) ×/ d + a

(5)Tie breakers: a × b × c × d or d × c × b × a, (a + b) × (c + d) or (d + c) × (a + b)?
Preferences: doesn't matter. I prefer my bigger numbers on the left most side, i.e. 1 × 2 × 3 × 4 → 4 × 3 × 2 × 1, (1 + 2) × (5 + 3) → (5 + 3) × (2 + 1)

Part 2: special rules for expressions with value 0 or 1
(6) Multiplication/Division with 1: x × y ? x / y, if the evaluation of y is 1.
Preference: x × y, eg. (13 + 11) / (5 - 4) → (13 + 11) × (5 - 4). Similarly (12 + 6 × 2) / 1 → (12 + 6 × 2) × 1.

(7) Placement of × z, when the value of z is 1: if z = 1, then we have: x + y × z ? x × z + y ? (x + y ) × z
Preferences: (x + y ) × z for symmetry

(8) The interesting case of {a, b, c, c} : a × b × c /c ? a × b + c - c, and ( a + b ) × c /c ? a + b + c - c .
Preference: a × b + c - c or a + b + c - c

(8.b) The final case of {a, b, 1, 1} : a × b × 1 × 1 ? a × b + 1 - 1, and ( a + b ) × 1 × 1 ? a + b + 1 - 1 .
Preference: a × b + 1 - 1 or a + b + 1 - 1

(8.c) The final final case of 24 : this case is only relevant when we play the bigger game where 24 is one of the 4 numbers.
24 × x / y → 24 + x - y, here x and y are two expressions with the same value
24 + a - b - c → 24 + b + c - a
24 + c - x is preferred over x + 24 - c where x is an expression composed of two numbers, obviously c and x has the same value.
The above three seemingly random rules cut a bunch of "gimmick" different solutions where 24 is envolved.


译文



给出任何一组可解的四个数时, 我们总想知道所有的解. 有些解显然不等价, 有些解显然等价, 有些解等价与否不那么明显.

我们用 "理论" 来阐述如何用最少的冗余形式来呈现解. 例如, 我们只从所有等价的解中抽取出一个. 而且, 我们想从所有等价的解中提出最简明的解.

记法约定:

a, b, c, d 表示数字 (1,2,3 等), x, y, z, w 表示表达式 例如 1, 1 + 2, (1 + 2 × 6) /5, 等.

两个表达式 x 和 y 等价, 我们表示为 x ? y, 例如 a + b ? b + a, a - (b - c) ? a + c - b .

若两个表达式 x 和 y 等价, 而且我们选择 y 代替 x 因为更简明 和/或 更易于人机交互, 我们表示为 x → y . 例: a - (b - c) ? a + c - b , 但我们更喜欢后者, 所以 a - (b - c) → a + c - b

± 表示 + 或 -, 另外 ×/ 表示 × 或 /.

1: 基本算术等价

此部分较明显. 1 × 2 × 3 × 4 和 (4 × 3 × ( 2 × 1)) 没有不同, 但显然人们更喜欢第一个表达式, 因为它简单.

此部分规则可以概总为一行: 数字替换成变量, 且当两个表达式应用于任何整数组时都得到相同的结果, 那么这两个表达式等价.

例如, 对四元组 {1,2,3,4} 和两个表达式: (3 + 2 + 1) × 4 和 4 × (1 + 2 + 3) : , 我们先把 1 替换成 a, 2 替换成 b, 3 替换成 c 以及 4 替换成 d, 现在两个表达式成为 (c + b + a) × d 和 d × ( a + b + c). 对于任意四元组 {a,b,c,d}, 这两个表达式都有相同的运算结果. 所以我们知道这两个表达式是等价的. 在 (3 + 2 + 1) × 4 和 4 × (1 + 2 + 3) 两者间, 我们更喜欢前者. 理由是对于一些人机交互 (想想计算器), 对于 (3 + 2 + 1) × 4, 括号是不需要的. 亦作 4 × (1 + 2 + 3) → (3 + 2 + 1) × 4 . 经验上, 在等价表达式中作选择的一般规则是, 我们更喜欢那些更复杂的部分在最左边的.

在给出第 1 部分的细节前, 我们需要一点脚注. 对两个表达式 x 和 y (设想 x 可能形如 a + b), 当我们写出 x ×/ y 时, 在必要时我们要把 x 或 y 用括号包起来.

(1) 交换律: x ± y ? ± y + x ; x × y ? y × x ; x ×/ y ×/ z ? x ×/ z ×/ y
偏爱 1: - 和 / 放在右边, 例 - a + b → b - a, a / b × c → a × c / b
偏爱 2: 更复杂的表达式在左边的, 例 c + a × b → a × b + c, a × (b + c) → (b + c) × a ...

(2) 结合律: x + y ± z ? ( x + y ) ± z ? x + (y ± z ) ; x × y ×/ z ? ( x × y ) ×/ z ? x × (y ×/ z ) ; ( x / y ) / z ? x / y / z
偏爱: 括号尽量少或者没有的, 例 (a + b) + c → a + b + c, (a / b) / c → a / b / c .

(3) + 和 -, 以及, × 和 / 的变换律 : x - (y - z) ? x + z - y ; x × z / y ? x/(y/z) ; x /(y × z) ? x/y/z
偏爱: 括号尽量少或者没有的, 例 a - (b - c) → a + c - b, a/(c/b) → a × b / c

(4) 更喜欢少用负号的: a - (b - c) ×/ d ? a + (c - b) ×/ d, 注意: 此规则不被规则 (3) 包含.
偏爱: 依规则 (3) 的偏爱有: a - (b - c) ×/ d → (c - b) ×/ d + a

(5)连串: 选 a × b × c × d 还是 d × c × b × a, 选 (a + b) × (c + d) 还是 (d + c) × (a + b)?
偏爱: 没关系. 我更喜欢更大的数在最左边, 例如 1 × 2 × 3 × 4 → 4 × 3 × 2 × 1, (1 + 2) × (5 + 3) → (5 + 3) × (2 + 1)

2: 表达式运算值为 0 或 1 的特殊规则
(6) 乘以或者除以 1: x × y ? x / y, 如果 y 的运算值为 1.
偏爱: x × y, 例 (13 + 11) / (5 - 4) → (13 + 11) × (5 - 4). 类似地 (12 + 6 × 2) / 1 → (12 + 6 × 2) × 1.

(7) 放置 × z, 当 z 的运算值为 1: 若 z = 1, 我们有: x + y × z ? x × z + y ? (x + y ) × z
偏爱: (x + y ) × z 更匀称

(8) {a, b, c, c} 是有趣的: a × b × c /c ? a × b + c - c, 还有 ( a + b ) × c /c ? a + b + c - c .
偏爱: a × b + c - c 或者 a + b + c - c

(8.b) 最后关于 {a, b, 1, 1} : a × b × 1 × 1 ? a × b + 1 - 1, 还有 ( a + b ) × 1 × 1 ? a + b + 1 - 1 .
偏爱: a × b + 1 - 1 or a + b + 1 - 1

(8.c) 最最后关于 24 : 这个只关于我们玩更大数值的游戏, 而 24 是四元组其中一个数时.
24 × x / y → 24 + x - y, 这里 x 和 y 是运算值相等的两个表达式
24 + a - b - c → 24 + b + c - a
选择 24 + c - x 而非 x + 24 - c , 此处 x 是包含两个数的表达式, 明显地, c 和 x 有相同的运算值.
当 24 被包含在四元组中时, 以上三个看起来随意的规则可以削减掉一堆花招不同的解.
上次由 24game 在 2016年09月04日 15:58,总共编辑 2 次。

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #12 523066680 » 2016年09月04日 13:28

24game 写了:4nums 网上有一些表达式形式归并的约定和理论

http://www.4nums.com/theory/

感谢分享! ;)
准备把论坛币设为和现金比10:1的形式,可以找我兑换。具体奖励办法还在思考中~

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #13 523066680 » 2016年09月06日 19:20

我的代码又臭又长

生成4个数参与的公式模板
  1. =info
  2.     生成运算模板
  3.     Code-By: 523066680
  4.        Date: 2016-09-06
  5. =cut
  6.  
  7. my @nums = ('a'..'d');
  8. our @ops = ("+", "-", "*", "/");
  9. our %hash;
  10. our %move;
  11.  
  12. arrange(\@nums, [], 0, $#nums);
  13.  
  14. our $op = "[" . quotemeta("+-*/"). "]";
  15. our $n = "[a-z]";
  16. my @arr;
  17. my ($a, $b, $c);
  18. my $tk;
  19.  
  20. print join("\n", sort keys %hash);
  21. print "\n";
  22. print scalar keys %hash,"\n";
  23.  
  24. #排列组合
  25. sub arrange
  26. {
  27.     my ($ref, $ref2, $lv, $top) = @_;
  28.  
  29.     my @tr;
  30.     my @collect;
  31.  
  32.     if ($lv <= $top)
  33.     {        
  34.         for my $o ( 0 .. $#$ref )
  35.         {
  36.             @collect = (@$ref2, $ref->[$o]);
  37.             @tr = @$ref[ 0..$o-1, $o+1..$#$ref ];
  38.             arrange(\@tr, \@collect, $lv+1, $top);
  39.         }
  40.     }
  41.     else
  42.     {
  43.         prior($ref2, 0, $#$ref2);
  44.     }
  45. }
  46.  
  47. #递归设置优先级
  48. sub prior
  49. {
  50.     our $hash;
  51.  
  52.     my ($ref, $lv, $top) = @_;
  53.     my @arr;
  54.  
  55.     if ( $lv < $top )
  56.     {
  57.         for my $i (0 .. $#$ref-1)    #0,1  1,2   2,3 合并
  58.         {
  59.             for my $o (@ops)
  60.             {
  61.                 @arr = makeref( $ref, $i, $o );
  62.                 if (@arr)
  63.                 {
  64.                     prior(\@arr, $lv+1, $top);
  65.                 }
  66.             }
  67.         }
  68.     }
  69.     else
  70.     {
  71.         my $exp = join("", @$ref );
  72.         $hash{$exp} = 1;
  73.     }
  74. }
  75.  
  76. #加括号处理
  77. sub makeref
  78. {
  79.     my ($aref, $idx, $o) = @_;
  80.     my @arr;
  81.     my ($a, $b);
  82.  
  83.     my $op = "[" . quotemeta("+-*/"). "]";
  84.     my $n = "[a-z]";
  85.  
  86.     for my $i ( 0 .. $#{$aref})
  87.     {
  88.         if ( $i == $idx )
  89.         {
  90.             ($a, $b) = ($aref->[$i], $aref->[$i+1]);
  91.             #运算符为+或者*
  92.             if ( $o=~/\+|\*/ )
  93.             {
  94.                 if ( length($a) == length($b) )  #同级别置换判断 a op b,或者 (a op b) op (c op d)
  95.                 {
  96.                     if ($a lt $b)
  97.                     {
  98.                         push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;
  99.                     }
  100.                     else
  101.                     {
  102.                         return ();
  103.                     }
  104.                 }
  105.                 elsif ( length($a) > length($b) )   # ( n op1 m ) op2 o
  106.                 {
  107.                     if ($a=~/($op) ($n) \)$/x)      #括号内运算符锚定,必须锚定$ 以确保是最边上的运算符
  108.                     {
  109.                         if ( $1 eq $o )             # op1 同 op2, +或*
  110.                         {
  111.                             if ( $2 lt $b )         # 如果 m < o 则生成公式: 可以是 *a)*b,不可以是 *b)*a
  112.                             {
  113.                                 push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;
  114.                             }
  115.                             else
  116.                             {
  117.                                 return ();
  118.                             }
  119.                         }
  120.                         else                        #1 op1 不同于 op2
  121.                         {
  122.                             push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;
  123.                         }
  124.                     }
  125.                     else                            #可能是 (a / (b op c)) op d 的情况
  126.                     {
  127.                         push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;
  128.                     }
  129.                    
  130.                 }
  131.                 else                                #排除 c*(a op b)的情况,存在对称的 (a op b)*c
  132.                 {
  133.                     return ();
  134.                 }
  135.             }
  136.             elsif ($o=~/\-|\//)
  137.             {
  138.                 if ( length($a) > length($b) )
  139.                 {
  140.                     if ($a=~/($op) ($n) \)$/x)
  141.                     {
  142.                         if ( $1 eq $o )
  143.                         {
  144.                             if ( $2 lt $b )
  145.                             {
  146.                                 push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;  
  147.                             }
  148.                             else
  149.                             {
  150.                                 return ();
  151.                             }
  152.                         }
  153.                         else
  154.                         {
  155.                             push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;  
  156.                         }
  157.                     }
  158.                     else
  159.                     {
  160.                         push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;
  161.                     }
  162.                 }
  163.                 else
  164.                 {
  165.                     push @arr, "(". $aref->[$i] . $o . $aref->[$i+1] .")" ;  
  166.                 }
  167.             }
  168.             else
  169.             {
  170.                 return ();
  171.             }
  172.         }
  173.         elsif ( $i == ($idx+1) )
  174.         {
  175.         }
  176.         else
  177.         {
  178.             push @arr, $aref->[$i];
  179.         }
  180.     }
  181.  
  182.     return @arr;
  183. }


生成结果(筛选过的) 2870 项

代码: 全选

(((a*b)*c)*d)
(((a*b)*c)+d)
(((a*b)*c)-d)
(((a*b)*c)/d)
(((a*b)*d)+c)
(((a*b)*d)-c)
(((a*b)*d)/c)
(((a*b)+c)*d)
(((a*b)+c)+d)
(((a*b)+c)-d)
(((a*b)+c)/d)
(((a*b)+d)*c)
(((a*b)+d)-c)
(((a*b)+d)/c)
(((a*b)-c)*d)
(((a*b)-c)+d)
(((a*b)-c)-d)
(((a*b)-c)/d)
(((a*b)-d)*c)
(((a*b)-d)+c)
(((a*b)-d)/c)
(((a*b)/c)*d)
(((a*b)/c)+d)
(((a*b)/c)-d)
(((a*b)/c)/d)
(((a*b)/d)*c)
(((a*b)/d)+c)
(((a*b)/d)-c)
(((a*c)*d)+b)
(((a*c)*d)-b)
(((a*c)*d)/b)
(((a*c)+b)*d)
(((a*c)+b)+d)
(((a*c)+b)-d)
(((a*c)+b)/d)
(((a*c)+d)*b)
(((a*c)+d)-b)
(((a*c)+d)/b)
(((a*c)-b)*d)
(((a*c)-b)+d)
(((a*c)-b)-d)
(((a*c)-b)/d)
(((a*c)-d)*b)
(((a*c)-d)+b)
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(a/(c-(b/d)))
(a/(c-(d-b)))
(a/(c-(d/b)))
(a/(c/(b*d)))
(a/(c/(b+d)))
(a/(c/(b-d)))
(a/(c/(b/d)))
(a/(c/(d-b)))
(a/(c/(d/b)))
(a/(d-(b*c)))
(a/(d-(b+c)))
(a/(d-(b-c)))
(a/(d-(b/c)))
(a/(d-(c-b)))
(a/(d-(c/b)))
(a/(d/(b*c)))
(a/(d/(b+c)))
(a/(d/(b-c)))
(a/(d/(b/c)))
(a/(d/(c-b)))
(a/(d/(c/b)))
(b-((a*c)*d))
(b-((a*c)+d))
(b-((a*c)-d))
(b-((a*c)/d))
(b-((a*d)+c))
(b-((a*d)-c))
(b-((a*d)/c))
(b-((a+c)*d))
(b-((a+c)+d))
(b-((a+c)-d))
(b-((a+c)/d))
(b-((a+d)*c))
(b-((a+d)-c))
(b-((a+d)/c))
(b-((a-c)*d))
(b-((a-c)+d))
(b-((a-c)-d))
(b-((a-c)/d))
(b-((a-d)*c))
(b-((a-d)+c))
(b-((a-d)/c))
(b-((a/c)*d))
(b-((a/c)+d))
(b-((a/c)-d))
(b-((a/c)/d))
(b-((a/d)*c))
(b-((a/d)+c))
(b-((a/d)-c))
(b-((c*d)+a))
(b-((c*d)-a))
(b-((c*d)/a))
(b-((c+d)*a))
(b-((c+d)-a))
(b-((c+d)/a))
(b-((c-a)*d))
(b-((c-a)+d))
(b-((c-a)-d))
(b-((c-a)/d))
(b-((c-d)*a))
(b-((c-d)+a))
(b-((c-d)/a))
(b-((c/a)*d))
(b-((c/a)+d))
(b-((c/a)-d))
(b-((c/a)/d))
(b-((c/d)*a))
(b-((c/d)+a))
(b-((c/d)-a))
(b-((d-a)*c))
(b-((d-a)+c))
(b-((d-a)-c))
(b-((d-a)/c))
(b-((d-c)*a))
(b-((d-c)+a))
(b-((d-c)/a))
(b-((d/a)*c))
(b-((d/a)+c))
(b-((d/a)-c))
(b-((d/a)/c))
(b-((d/c)*a))
(b-((d/c)+a))
(b-((d/c)-a))
(b-(a-(c*d)))
(b-(a-(c+d)))
(b-(a-(c-d)))
(b-(a-(c/d)))
(b-(a-(d-c)))
(b-(a-(d/c)))
(b-(a/(c*d)))
(b-(a/(c+d)))
(b-(a/(c-d)))
(b-(a/(c/d)))
(b-(a/(d-c)))
(b-(a/(d/c)))
(b-(c-(a*d)))
(b-(c-(a+d)))
(b-(c-(a-d)))
(b-(c-(a/d)))
(b-(c-(d-a)))
(b-(c-(d/a)))
(b-(c/(a*d)))
(b-(c/(a+d)))
(b-(c/(a-d)))
(b-(c/(a/d)))
(b-(c/(d-a)))
(b-(c/(d/a)))
(b-(d-(a*c)))
(b-(d-(a+c)))
(b-(d-(a-c)))
(b-(d-(a/c)))
(b-(d-(c-a)))
(b-(d-(c/a)))
(b-(d/(a*c)))
(b-(d/(a+c)))
(b-(d/(a-c)))
(b-(d/(a/c)))
(b-(d/(c-a)))
(b-(d/(c/a)))
(b/((a*c)*d))
(b/((a*c)+d))
(b/((a*c)-d))
(b/((a*c)/d))
(b/((a*d)+c))
(b/((a*d)-c))
(b/((a*d)/c))
(b/((a+c)*d))
(b/((a+c)+d))
(b/((a+c)-d))
(b/((a+c)/d))
(b/((a+d)*c))
(b/((a+d)-c))
(b/((a+d)/c))
(b/((a-c)*d))
(b/((a-c)+d))
(b/((a-c)-d))
(b/((a-c)/d))
(b/((a-d)*c))
(b/((a-d)+c))
(b/((a-d)/c))
(b/((a/c)*d))
(b/((a/c)+d))
(b/((a/c)-d))
(b/((a/c)/d))
(b/((a/d)*c))
(b/((a/d)+c))
(b/((a/d)-c))
(b/((c*d)+a))
(b/((c*d)-a))
(b/((c*d)/a))
(b/((c+d)*a))
(b/((c+d)-a))
(b/((c+d)/a))
(b/((c-a)*d))
(b/((c-a)+d))
(b/((c-a)-d))
(b/((c-a)/d))
(b/((c-d)*a))
(b/((c-d)+a))
(b/((c-d)/a))
(b/((c/a)*d))
(b/((c/a)+d))
(b/((c/a)-d))
(b/((c/a)/d))
(b/((c/d)*a))
(b/((c/d)+a))
(b/((c/d)-a))
(b/((d-a)*c))
(b/((d-a)+c))
(b/((d-a)-c))
(b/((d-a)/c))
(b/((d-c)*a))
(b/((d-c)+a))
(b/((d-c)/a))
(b/((d/a)*c))
(b/((d/a)+c))
(b/((d/a)-c))
(b/((d/a)/c))
(b/((d/c)*a))
(b/((d/c)+a))
(b/((d/c)-a))
(b/(a-(c*d)))
(b/(a-(c+d)))
(b/(a-(c-d)))
(b/(a-(c/d)))
(b/(a-(d-c)))
(b/(a-(d/c)))
(b/(a/(c*d)))
(b/(a/(c+d)))
(b/(a/(c-d)))
(b/(a/(c/d)))
(b/(a/(d-c)))
(b/(a/(d/c)))
(b/(c-(a*d)))
(b/(c-(a+d)))
(b/(c-(a-d)))
(b/(c-(a/d)))
(b/(c-(d-a)))
(b/(c-(d/a)))
(b/(c/(a*d)))
(b/(c/(a+d)))
(b/(c/(a-d)))
(b/(c/(a/d)))
(b/(c/(d-a)))
(b/(c/(d/a)))
(b/(d-(a*c)))
(b/(d-(a+c)))
(b/(d-(a-c)))
(b/(d-(a/c)))
(b/(d-(c-a)))
(b/(d-(c/a)))
(b/(d/(a*c)))
(b/(d/(a+c)))
(b/(d/(a-c)))
(b/(d/(a/c)))
(b/(d/(c-a)))
(b/(d/(c/a)))
(c-((a*b)*d))
(c-((a*b)+d))
(c-((a*b)-d))
(c-((a*b)/d))
(c-((a*d)+b))
(c-((a*d)-b))
(c-((a*d)/b))
(c-((a+b)*d))
(c-((a+b)+d))
(c-((a+b)-d))
(c-((a+b)/d))
(c-((a+d)*b))
(c-((a+d)-b))
(c-((a+d)/b))
(c-((a-b)*d))
(c-((a-b)+d))
(c-((a-b)-d))
(c-((a-b)/d))
(c-((a-d)*b))
(c-((a-d)+b))
(c-((a-d)/b))
(c-((a/b)*d))
(c-((a/b)+d))
(c-((a/b)-d))
(c-((a/b)/d))
(c-((a/d)*b))
(c-((a/d)+b))
(c-((a/d)-b))
(c-((b*d)+a))
(c-((b*d)-a))
(c-((b*d)/a))
(c-((b+d)*a))
(c-((b+d)-a))
(c-((b+d)/a))
(c-((b-a)*d))
(c-((b-a)+d))
(c-((b-a)-d))
(c-((b-a)/d))
(c-((b-d)*a))
(c-((b-d)+a))
(c-((b-d)/a))
(c-((b/a)*d))
(c-((b/a)+d))
(c-((b/a)-d))
(c-((b/a)/d))
(c-((b/d)*a))
(c-((b/d)+a))
(c-((b/d)-a))
(c-((d-a)*b))
(c-((d-a)+b))
(c-((d-a)-b))
(c-((d-a)/b))
(c-((d-b)*a))
(c-((d-b)+a))
(c-((d-b)/a))
(c-((d/a)*b))
(c-((d/a)+b))
(c-((d/a)-b))
(c-((d/a)/b))
(c-((d/b)*a))
(c-((d/b)+a))
(c-((d/b)-a))
(c-(a-(b*d)))
(c-(a-(b+d)))
(c-(a-(b-d)))
(c-(a-(b/d)))
(c-(a-(d-b)))
(c-(a-(d/b)))
(c-(a/(b*d)))
(c-(a/(b+d)))
(c-(a/(b-d)))
(c-(a/(b/d)))
(c-(a/(d-b)))
(c-(a/(d/b)))
(c-(b-(a*d)))
(c-(b-(a+d)))
(c-(b-(a-d)))
(c-(b-(a/d)))
(c-(b-(d-a)))
(c-(b-(d/a)))
(c-(b/(a*d)))
(c-(b/(a+d)))
(c-(b/(a-d)))
(c-(b/(a/d)))
(c-(b/(d-a)))
(c-(b/(d/a)))
(c-(d-(a*b)))
(c-(d-(a+b)))
(c-(d-(a-b)))
(c-(d-(a/b)))
(c-(d-(b-a)))
(c-(d-(b/a)))
(c-(d/(a*b)))
(c-(d/(a+b)))
(c-(d/(a-b)))
(c-(d/(a/b)))
(c-(d/(b-a)))
(c-(d/(b/a)))
(c/((a*b)*d))
(c/((a*b)+d))
(c/((a*b)-d))
(c/((a*b)/d))
(c/((a*d)+b))
(c/((a*d)-b))
(c/((a*d)/b))
(c/((a+b)*d))
(c/((a+b)+d))
(c/((a+b)-d))
(c/((a+b)/d))
(c/((a+d)*b))
(c/((a+d)-b))
(c/((a+d)/b))
(c/((a-b)*d))
(c/((a-b)+d))
(c/((a-b)-d))
(c/((a-b)/d))
(c/((a-d)*b))
(c/((a-d)+b))
(c/((a-d)/b))
(c/((a/b)*d))
(c/((a/b)+d))
(c/((a/b)-d))
(c/((a/b)/d))
(c/((a/d)*b))
(c/((a/d)+b))
(c/((a/d)-b))
(c/((b*d)+a))
(c/((b*d)-a))
(c/((b*d)/a))
(c/((b+d)*a))
(c/((b+d)-a))
(c/((b+d)/a))
(c/((b-a)*d))
(c/((b-a)+d))
(c/((b-a)-d))
(c/((b-a)/d))
(c/((b-d)*a))
(c/((b-d)+a))
(c/((b-d)/a))
(c/((b/a)*d))
(c/((b/a)+d))
(c/((b/a)-d))
(c/((b/a)/d))
(c/((b/d)*a))
(c/((b/d)+a))
(c/((b/d)-a))
(c/((d-a)*b))
(c/((d-a)+b))
(c/((d-a)-b))
(c/((d-a)/b))
(c/((d-b)*a))
(c/((d-b)+a))
(c/((d-b)/a))
(c/((d/a)*b))
(c/((d/a)+b))
(c/((d/a)-b))
(c/((d/a)/b))
(c/((d/b)*a))
(c/((d/b)+a))
(c/((d/b)-a))
(c/(a-(b*d)))
(c/(a-(b+d)))
(c/(a-(b-d)))
(c/(a-(b/d)))
(c/(a-(d-b)))
(c/(a-(d/b)))
(c/(a/(b*d)))
(c/(a/(b+d)))
(c/(a/(b-d)))
(c/(a/(b/d)))
(c/(a/(d-b)))
(c/(a/(d/b)))
(c/(b-(a*d)))
(c/(b-(a+d)))
(c/(b-(a-d)))
(c/(b-(a/d)))
(c/(b-(d-a)))
(c/(b-(d/a)))
(c/(b/(a*d)))
(c/(b/(a+d)))
(c/(b/(a-d)))
(c/(b/(a/d)))
(c/(b/(d-a)))
(c/(b/(d/a)))
(c/(d-(a*b)))
(c/(d-(a+b)))
(c/(d-(a-b)))
(c/(d-(a/b)))
(c/(d-(b-a)))
(c/(d-(b/a)))
(c/(d/(a*b)))
(c/(d/(a+b)))
(c/(d/(a-b)))
(c/(d/(a/b)))
(c/(d/(b-a)))
(c/(d/(b/a)))
(d-((a*b)*c))
(d-((a*b)+c))
(d-((a*b)-c))
(d-((a*b)/c))
(d-((a*c)+b))
(d-((a*c)-b))
(d-((a*c)/b))
(d-((a+b)*c))
(d-((a+b)+c))
(d-((a+b)-c))
(d-((a+b)/c))
(d-((a+c)*b))
(d-((a+c)-b))
(d-((a+c)/b))
(d-((a-b)*c))
(d-((a-b)+c))
(d-((a-b)-c))
(d-((a-b)/c))
(d-((a-c)*b))
(d-((a-c)+b))
(d-((a-c)/b))
(d-((a/b)*c))
(d-((a/b)+c))
(d-((a/b)-c))
(d-((a/b)/c))
(d-((a/c)*b))
(d-((a/c)+b))
(d-((a/c)-b))
(d-((b*c)+a))
(d-((b*c)-a))
(d-((b*c)/a))
(d-((b+c)*a))
(d-((b+c)-a))
(d-((b+c)/a))
(d-((b-a)*c))
(d-((b-a)+c))
(d-((b-a)-c))
(d-((b-a)/c))
(d-((b-c)*a))
(d-((b-c)+a))
(d-((b-c)/a))
(d-((b/a)*c))
(d-((b/a)+c))
(d-((b/a)-c))
(d-((b/a)/c))
(d-((b/c)*a))
(d-((b/c)+a))
(d-((b/c)-a))
(d-((c-a)*b))
(d-((c-a)+b))
(d-((c-a)-b))
(d-((c-a)/b))
(d-((c-b)*a))
(d-((c-b)+a))
(d-((c-b)/a))
(d-((c/a)*b))
(d-((c/a)+b))
(d-((c/a)-b))
(d-((c/a)/b))
(d-((c/b)*a))
(d-((c/b)+a))
(d-((c/b)-a))
(d-(a-(b*c)))
(d-(a-(b+c)))
(d-(a-(b-c)))
(d-(a-(b/c)))
(d-(a-(c-b)))
(d-(a-(c/b)))
(d-(a/(b*c)))
(d-(a/(b+c)))
(d-(a/(b-c)))
(d-(a/(b/c)))
(d-(a/(c-b)))
(d-(a/(c/b)))
(d-(b-(a*c)))
(d-(b-(a+c)))
(d-(b-(a-c)))
(d-(b-(a/c)))
(d-(b-(c-a)))
(d-(b-(c/a)))
(d-(b/(a*c)))
(d-(b/(a+c)))
(d-(b/(a-c)))
(d-(b/(a/c)))
(d-(b/(c-a)))
(d-(b/(c/a)))
(d-(c-(a*b)))
(d-(c-(a+b)))
(d-(c-(a-b)))
(d-(c-(a/b)))
(d-(c-(b-a)))
(d-(c-(b/a)))
(d-(c/(a*b)))
(d-(c/(a+b)))
(d-(c/(a-b)))
(d-(c/(a/b)))
(d-(c/(b-a)))
(d-(c/(b/a)))
(d/((a*b)*c))
(d/((a*b)+c))
(d/((a*b)-c))
(d/((a*b)/c))
(d/((a*c)+b))
(d/((a*c)-b))
(d/((a*c)/b))
(d/((a+b)*c))
(d/((a+b)+c))
(d/((a+b)-c))
(d/((a+b)/c))
(d/((a+c)*b))
(d/((a+c)-b))
(d/((a+c)/b))
(d/((a-b)*c))
(d/((a-b)+c))
(d/((a-b)-c))
(d/((a-b)/c))
(d/((a-c)*b))
(d/((a-c)+b))
(d/((a-c)/b))
(d/((a/b)*c))
(d/((a/b)+c))
(d/((a/b)-c))
(d/((a/b)/c))
(d/((a/c)*b))
(d/((a/c)+b))
(d/((a/c)-b))
(d/((b*c)+a))
(d/((b*c)-a))
(d/((b*c)/a))
(d/((b+c)*a))
(d/((b+c)-a))
(d/((b+c)/a))
(d/((b-a)*c))
(d/((b-a)+c))
(d/((b-a)-c))
(d/((b-a)/c))
(d/((b-c)*a))
(d/((b-c)+a))
(d/((b-c)/a))
(d/((b/a)*c))
(d/((b/a)+c))
(d/((b/a)-c))
(d/((b/a)/c))
(d/((b/c)*a))
(d/((b/c)+a))
(d/((b/c)-a))
(d/((c-a)*b))
(d/((c-a)+b))
(d/((c-a)-b))
(d/((c-a)/b))
(d/((c-b)*a))
(d/((c-b)+a))
(d/((c-b)/a))
(d/((c/a)*b))
(d/((c/a)+b))
(d/((c/a)-b))
(d/((c/a)/b))
(d/((c/b)*a))
(d/((c/b)+a))
(d/((c/b)-a))
(d/(a-(b*c)))
(d/(a-(b+c)))
(d/(a-(b-c)))
(d/(a-(b/c)))
(d/(a-(c-b)))
(d/(a-(c/b)))
(d/(a/(b*c)))
(d/(a/(b+c)))
(d/(a/(b-c)))
(d/(a/(b/c)))
(d/(a/(c-b)))
(d/(a/(c/b)))
(d/(b-(a*c)))
(d/(b-(a+c)))
(d/(b-(a-c)))
(d/(b-(a/c)))
(d/(b-(c-a)))
(d/(b-(c/a)))
(d/(b/(a*c)))
(d/(b/(a+c)))
(d/(b/(a-c)))
(d/(b/(a/c)))
(d/(b/(c-a)))
(d/(b/(c/a)))
(d/(c-(a*b)))
(d/(c-(a+b)))
(d/(c-(a-b)))
(d/(c-(a/b)))
(d/(c-(b-a)))
(d/(c-(b/a)))
(d/(c/(a*b)))
(d/(c/(a+b)))
(d/(c/(a-b)))
(d/(c/(a/b)))
(d/(c/(b-a)))
(d/(c/(b/a)))


试算代码
  1. open $READ, "<:raw", "mode.txt";
  2. my @mod = <$READ>;
  3. close $READ;
  4.  
  5. my $value;
  6.  
  7. my @nums = (1,3,7,7);
  8. my @src = ('a'..'d');
  9. my %hash;
  10. my $mod;
  11.  
  12. for my $e (@mod)
  13. {
  14.     $e=~s/\r?\n$//;
  15.     $mod = $e;
  16.     for my $c (0 .. $#src)
  17.     {
  18.         $e=~s/$src[$c]/$nums[$c]/;    #遍历替换abcd,不要问我为什么不用tr
  19.     }
  20.     $value = eval $e or next;
  21.     if ($value eq 24)
  22.     {
  23.         $hash{$e} .= $mod .", ";      #hash会自动帮我合并重复项的(替换后看上去完全一样的公式)
  24.     }
  25. }
  26.  
  27. for my $k (sort keys %hash)
  28. {
  29.     print "$k = 24, Expression: $hash{$k}\n";
  30. }
  31. print "\n";


结果
Code: [全选] [展开/折叠] [Download] (Untitled.txt)
  1. ((1-7)*(3-7)) = 24, Expression: ((a-c)*(b-d)), ((a-d)*(b-c)),
  2. ((7-1)*(7-3)) = 24, Expression: ((c-a)*(d-b)),
  3. ((7-3)*(7-1)) = 24, Expression: ((c-b)*(d-a)),
  4. [Finished in 0.2s]


可以看到一个坑爹的地方
((7-1)*(7-3)) = 24, Expression: ((c-a)*(d-b)),
((7-3)*(7-1)) = 24, Expression: ((c-b)*(d-a)),

虽然替换前的公式看上去没什么问题,但是当数字中存在重复项时,还是会出现明显的等价公式
==============
还有 (a * c) * ( b * d ), (a * d) * ( b * c) 这样的 …… 我要改方案,改用数据结构,而不是字符串处理

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #14 24game » 2016年09月06日 21:08

523066680 写了:我要改方案,改用数据结构,而不是字符串处理



Code: [全选] [展开/折叠] [Download] (Untitled.txt)
  1. '
  2.       二
  3.    叉     叉
  4. 树   树 树   树

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #15 523066680 » 2016年09月06日 21:15

24game 写了:
523066680 写了:我要改方案,改用数据结构,而不是字符串处理



Code: [全选] [展开/折叠] [Download] (Untitled.txt)
  1. '
  2.       二
  3.    叉     叉
  4. 树   树 树   树


:rubbing_eyes 只会野路子,二叉树都不是很懂。

打算做一些数据统计,做大量运算,把不能算出24点的数字组合提取出来,对能算出24点的公式统计运算符频率和公式频率

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
我开始看资料了,在wikipedia中文页面 24点里面,
24点的组合数学,譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

715 和 1820是怎么算来的?

好吧我知道一部分了,假设最大数值是K,公式如下
N=K*(k+1)*(k+2)*(k+3)/(4*3*2*1)

具体计算需要参考链接:
https://www.mathsisfun.com/combinatoric ... tions.html

24game
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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #16 24game » 2016年09月08日 12:41

523066680 写了:
24game 写了:
523066680 写了:我要改方案,改用数据结构,而不是字符串处理



Code: [全选] [展开/折叠] [Download] (Untitled.txt)
  1. '
  2.       二
  3.    叉     叉
  4. 树   树 树   树


:rubbing_eyes 只会野路子,二叉树都不是很懂。

打算做一些数据统计,做大量运算,把不能算出24点的数字组合提取出来,对能算出24点的公式统计运算符频率和公式频率

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
我开始看资料了,在wikipedia中文页面 24点里面,
24点的组合数学,譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

715 和 1820是怎么算来的?

好吧我知道一部分了,假设最大数值是K,公式如下
N=K*(k+1)*(k+2)*(k+3)/(4*3*2*1)

具体计算需要参考链接:
https://www.mathsisfun.com/combinatoric ... tions.html



你给的链接象只是谈 组合 和 排列的, 这个是高中数学里一样的内容吧,
高中数学讲的 组合 是一种 无重复组合

排列组合 在现行 人教版高中选修 2-3 里

链接: http://pan.baidu.com/s/1skDkGxB 密码: 2h7f

从 n 个元素中取出 m 个元素 组合数公式

n! / (n-m)! / m!

注意是 无重复组合

24 点游戏选取数字是可以相同的, 所以不能应用这个公式, 要用 有重复组合的公式(可以用无重复组合转化推导)

中文维基
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88
段落: 重复组合理论与公式

英文维基
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
段落: Number of combinations with repetition

都把公式及推导过程讲清楚了

暴露一下年龄, 话说当年我的高中, 排列组合都是基本内容, 现今却成了选修内容, 现行高中选修中, 有好多都是当年的必修, 不过现行高中比过去加进了一些以前到大学才学的内容, 比如 微积分初步, 逻辑初步, 空间解析几何初步

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Re: [征集]算24点全解无重复程序

帖子 #17 523066680 » 2016年09月08日 18:45

24game 写了:你给的链接象只是谈 组合 和 排列的, 这个是高中数学里一样的内容吧,
高中数学讲的 组合 是一种 无重复组合

排列组合 在现行 人教版高中选修 2-3 里


高中那时候只学到了 n! / ((n-m)! * m!) 这个,比如从9个数字里挑4个的组合数是 (9*8*7*6)/(4*3*2*1),这个是清楚地知道的。


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