Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

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vicyang
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Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #1 vicyang » 2016年11月17日 18:05

黄金比值φ = [1+sqrt(5)]/2
可能在很多人看来都是一眼明了的东西,无奈本人的数学知识早已丢了大半,只得重新追溯。

首先有线段如下

代码: 全选

          a                 b
|--------------------|------------|

令 a/b = (a+b)/a

.
由 a/b = (a+b)/a ,转换得到
a² = ab + b²

假设 a/b = k, 用bk取代a,得

b²k² = b²k + b²

两边消除 b²,得

k² - k = 1

强行在两边插入同一个值,使得左边式子变为完全平方公式(为机智的降维打击做铺垫啊 #1)

k² - k + (1/2)² = 1 + (1/2)²

(k - 1/2)² = 5/4

对公式两边同时开根,最后得:

k = [1+sqrt(5)]/2


#1 我就是卡在了 k² - k = 1(智商欠费),然后去看了wikipedia - Golden ratio
注意这句话:Using the quadratic formula

以上过程重新简化了步骤。

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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #2 happy886rr » 2016年11月26日 09:48

我也忘了怎么解二次方程了,这只是平面中的黄金分割,那有没有三维中的黄金分割公式?

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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #3 vicyang » 2016年11月26日 10:02

happy886rr 写了:我也忘了怎么解二次方程了,这只是平面中的黄金分割,那有没有三维中的黄金分割公式?


:speechless1 是假设一个大立方体A和一个小立方体B,使其体积 a³ : b³ = b³ : (a³ - b³) 吗

(这么想似乎也不太对,这样的话还有面积, a² : b² = b² : (a² - b²)

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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #4 happy886rr » 2016年11月26日 10:09

问题是这个三次方程有解吗?

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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #5 happy886rr » 2016年11月26日 10:11

再说人直觉可以感受到长度的比例,但直觉不能很好的感受到体积的比,觉得这种高维黄金分割点只能在科技中使用了,平面美学不实用。

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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #6 vicyang » 2016年11月26日 10:21

happy886rr 写了:再说人直觉可以感受到长度的比例,但直觉不能很好的感受到体积的比,觉得这种高维黄金分割点只能在科技中使用了,平面美学不实用。


感觉可能涉及到拓扑学。虽然方程解法还没去细想,不过用代码肯定可以跑一个近似值出来,哈哈

=== 胡乱地试算 ===
平面
平面上的有 A、B 两个正方形,一大一小,边长分别为 a, b

令其面积比为黄金比例:

a² / b² = b² / (a² - b²)

先不去演化公式,假设

a² = F,b² = G,则 F/G = G/(F-G)

最后又会推导出 F/G = (sqrt(5)+1)/2,也就是

a² / b² = (sqrt(5)+1)/2

两边同时开根,

a/b = sqrt[ (sqrt(5)+1)/2 ]
≈ 0.786151377757423

立体
立方体情况类似,a³ / b³ = (sqrt(5)+1)/2 ,两边同时立方根,

a/b = [(sqrt(5)+1)/2] ^(1/3)
≈ 0.851799642079243


但是这样想对不对?求出来的 k 有没有实际应用? 不知道,有空会在玩图形的时候试一试。

happy886rr
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Re: Golden Ratio - 黄金分割比值的求证

帖子 #7 happy886rr » 2016年11月26日 12:10

:applaud1 厉害这个三维的黄金分割都被你算出来了。


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